Objetivo: El
alumno aprenderá el uso de técnicas avanzadas de derivación y
sus aplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones
exponenciales, funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre
otras. Comprenderá el concepto de diferencial y sus aplicaciones.
4.1 Derivadas de Funciones Logarítmicas
Como 
, también se puede expresar así:
, también se puede expresar así:
Derivada con logaritmo neperiano
Un ejemplo mas explicado:
Autor:vitutor. (2014). Derivada de la funcion logaritmica. 2 de diciembre, de pag web Sitio web: http://www.vitutor.com/fun/4/b_4.html
4.2 Derivadas de Funciones Exponenciales
La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Derivada de la función exponencial de base e
La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.
video recomendado:
Autor:dervor. (2015). Derivada de la funcion exponenciales. 2 de diciembre, de pag web Sitio web: http://www.dervor.com/derivadas/derivada_exponencial.html
4.3 Diferenciación Implícita
Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita.
En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita.
Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente,
sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.
Video recomendado:
Autor:analisis matematico. (2015). derivacion implicita. 2 de diciembre, de pag web Sitio web: http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/derivacion_implicita.htm
4.4 Diferenciación Logarítmica
Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo.
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video recomendado:
Autor:dervor. (2015). diferenciacion logaritmica. 2 de diciembre, de pag web Sitio web: http://www.dervor.com/derivadas/derivacion_logaritmica.html
4.5 Derivadas de Orden Superior
La derivada de la derivada de una función se conoce como
segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su
primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la
función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:
de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor
orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función
dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente
sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que
se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas
expuestos en la sección de los teoremas.
Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo
orden son:
para derivadas de orden superior es de forma similar, así
por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:
Ejemplos:
Dada la función
obtener la segunda derivada y cuarta derivada:
obtener la segunda derivada y cuarta derivada:
Video recomendado:
Autor: cie. (2015). Derivadas de Orden Superior. 2 de diciembre, de pag web Sitio web: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/derivadas_de_orden_superior.htm
4.6 Diferenciales
Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una
función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es
el producto f'(x) · h. Se representa por dy.
La diferencial en
un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente,
correspondiente a un incremento de la variable independiente.
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