Matematicas 1: MODULO 5. Aplicaciones de la derivada

Objetivo: El alumno analizará el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las disciplinas económico-administrativas.

5.1 Función creciente y decreciente.

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁y x₂, con la condición x₁ £ x₂, se verifica que

f( x₁ ) < f( x₂ ).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁< x₂se deduzca f(x₁) > f(x₂), la función se dice estrictamente decreciente.

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x² en los puntos

Resolución:

· La función y = x² es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x₃ < x₄ Þ x₃² > x₄²(por ejemplo, -7 < -3 y (-7)² > (-3)²). Es estrictamente decreciente en x = 0.

· Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

Video recomendado:

Autor:funcreyd. (2014). 5.1 Función creciente y decreciente.. 2 de diciembre, de pag web Sitio web: http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcreyd.htm

5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).

De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Extremos relativos o locales

Sea

f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}

, sea

x_0 \in A

y sea

P=\,(x_0, f(x_0))

un punto perteneciente a la función.

Se dice que

P

es un máximo local de

f

si existe un entorno reducido de centro

x_0

, en símbolos

{E'(x_0)}

, donde para todo elemento

x

{E'(x_0)}

se cumple

f(x) \le f(x_0)

. Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse

f(x) < f(x_0)

Análogamente se dice que el punto

P

es un mínimo local de

f

si existe un entorno reducido de centro

x_0

, en símbolos

{E'(x_0)}

, donde para todo elemento

x

{E'(x_0)}

se cumple

f(x) \ge f(x_0)

Extremos absolutos

Sea

f(x): A\sub\mathbb{R} \longmapsto \mathbb {R}

, sea

x_0 \in A

y sea

P=\,(x_0, f(x_0))

un punto perteneciente a la función.

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de

x_0

pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de

x_0

. Esto es:

P\,(x_0, f(x_0))

máximo absoluto de

f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x)

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de

x_0

perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de

x_0

. Esto es:

P\,(x_0, f(x_0))

mínimo absoluto de

f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x)

Cálculo de extremos locales

Dada una función suficientemente diferenciable

f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}

, definida en un intervalo abierto de

\mathbb {R}

, el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:

Se halla la primera derivada de $f \rightarrow f'(x)$
Se halla la segunda derivada de $f \rightarrow f''(x)$
Se iguala la primera derivada a 0: $f'(x) = 0\,$
Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: $X = \big\{x_1, x_2,..., x_n | f'(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\}$ .
Se halla la imagen de cada $x_i\,$ sustituyendo la variable independiente en la función.
Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada $x_i\,$ :

Si $f''(x_i) < 0\,$ , se tiene un máximo en el punto $M(x_i, f(x_i))\,$ .
Si $f''(x_i) > 0\,$ , se tiene un mínimo en el punto $m(x_i, f(x_i))\,$ .
Si $f''(x_i) = 0\,$ , debemos sustituir $x_i\,$ en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que $x_i\,$ no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

Si el orden de la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si $f^n\,(x_i) < 0\,$ y un mínimo si $f^n\,(x_i) > 0\,$
Si el orden de la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión, pero no de un extremo.

Ejemplo

Sea

f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x -30 \,

Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión.

Dada la función

f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x - 30 \,

, se tiene que:

f'\,(x) = 3x^2 -24x + 45

f''\,(x) = 6x - 24

f'''\,(x) = 6

Extremos:

f'\,(x) = 3x^2 - 24x + 45 = 0 \iff x \in \big\{3, 5\big\}

f''\,(3) = 6 \cdot 3 - 24 = -6 < 0 \Rightarrow

existe un máximo en

M\,(3, f(3)) \rightarrow M\,(3, 24)

f''(5) = 6 \cdot 5 - 24 = 6 > 0 \Rightarrow

existe un mínimo en

m\,(5, f(5)) \rightarrow m\,(5, 20)

Puntos de inflexión

f''(x) = 6x - 24 = 0 \iff x = 4

f'''(4) = 6 \ne 0 \Rightarrow

existe un punto de inflexión en

P\,(4, f(4)) \rightarrow P\,(4, 22)

Video recomendado:

Autor: wikipedia. (2011). Extremos relativos y extremos absolutos.. 2 de diciembre, de pag web Sitio web: http://es.wikipedia.org/wiki/Extremos_de_una_funci%C3%B3n

5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

v En la figura de la izquierda se esboza la interpretación geométrica del teorema: "Prueba de la primera derivada".
En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f '(x)>0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)<0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo); en la parte derecha se tiene un valor mínimo relativo en c, y se observa que f '(x)<0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)>0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo)

Video recomendado:

Autor: Analisis Matematico. (2013). Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.. 2 de diciembre, de pag web Sitio web: http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/prueba_de_la_primera_derivada.htm

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

Concavidad

f presenta concavidad positiva en x=a si existe un E^*_a / para todo x perteneciente al E^*_a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a).

La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E^*_a / para todo x perteneciente al E^*_a f(x) < f'(a)(x-a) + f(a).

La función presenta concavidad negativa en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

Derivada segunda

Se llama derivada segunda de una función f(x) a la derivada de la derivada de dicha función.

Notación: f''(x).

Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función.

Punto de inflexión

f presenta un punto de inflexión en x=a si existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) < f'(a)(x-a) + f(a) (o viceversa: f menor a la izquierda y mayor a la derecha).

		En el semientorno izquierdo de a, f está por encima de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por debajo de la tangente.

		En el semientorno izquierdo de a, f está por debajo de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por encima de la tangente.

video recomendado:

Autor: matematicas. (2013). Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.. 2 de diciembre, de pag web Sitio web: http://matematica.50webs.com/concavidad.html

5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

INGRESOS

Ingreso total (IT): es simplemente el precio de un bien multiplicado por la cantidad que se vende de ese bien.

Ingreso marginal (IM): es el incremento que experimenta el ingreso total cuando se eleva la producción en una unidad. El IM puede ser positivo o negativo en dependencia de la elasticidad de la demanda.

Para un bien en estudio el ingreso marginal se relaciona con el ingreso total, de forma:

Cantidad Q Precio

P=IT/Q (pesos) Ingreso total IT=PxQ (pesos) Ingreso marginal IM (pesos)

En el caso que se tenga la función de ingresos totales, IM= (IT)’.

Nótese que el ingreso total máximo se obtiene cuando el IM=0.

Ejemplo 12 (Aplicación de la derivada de funciones de una variable)

La función de ingresos total de la Empresa Lycos S.A. dedicada a la producción de piensos para aves viene dada por IT(Q)= 30Q-3Q², donde Q es la cantidad de toneladas de piensos vendida por la empresa en un año.

a-) Determinar el ingreso marginal para Q=3, Q=4 y Q=3.5.

b-) ¿A qué nivel de producción alcanza la empresa un ingreso total máximo? Calcule su valor.

c-) Analice el inciso anterior gráficamente.

Solución:

a-) IM= (IT)’= (30Q-3Q²)’= 30-6Q

Para Q=3 Para Q=4

IM= 30-6*4=6 IM=30-6*3=12

Para Q=3.5

IM= 30-6*3.5=9

Rta: Cuando la producción es de 3 toneladas de pienso, el producir una unidad adicional traería consigo un aumento en los ingresos de $12.00, si fuera de 4 toneladas los ingresos totales aumentarían en $6.00 y si la producción fuera de 3.5 toneladas los ingresos totales aumentarían en $9.00.

b-) El ingreso total máximo se obtiene cuando IM=0:

IM=O IT(5)= 30*5-3*5^2

30-6Q=0 IT(5)= $756Q=30

Q=5u

Rta: Al producir 5 toneladas de piensos obtiene la Empresa Lycos S.A. un nivel máximo de ingresos de $ 75.00.

Solución gráfica:

Nótese que la función de Ingresos Totales tiene el punto de máximo donde su primera derivada es cero (IM = 0).

Ejemplo 13 (Aplicación de la integral indefinida)

La función de ingresos marginales de una fábrica está dada por

Imq = 20/ (4+q)2 .

a-) Hallar la función de ingreso total si este es de 20 unidades monetarias cuando la producción es de 2 unidades.

b-) Calcular la variación en el ingreso total cuando la producción aumenta a 4 unidades.

Solución:

a-) ITq = ∫ IMq *dq

= ∫ 20/(4+q)2 *dq

= -20/4+q + C

IT(2) = -20/4+2 + C

20 = -10 + C

C = 30

Rta: La función de ingresos totales está dada por la expresión

ITq = -20/4+q +30.

b-) IT(4) = -20/4+4 +30 = 27.5

Rta: Al duplicarse la producción los ingresos totales aumentan en 7,5 unidades monetarias.

PUNTO MÁXIMO Y MÍNIMO

La curva que resulta de graficar una función cuadrática o de segundo grado se llama parábola. El punto mínimo y máximo de una parábola se llama vértice. La coordenada x del vértice de una parábola se calcula con x=-b/2a

Cuando a>0, el vértice es un mínimo y la gráfica se abre hacia arriba; cuando a<0, el vértice es un máximo y la gráfica se abre hacia abajo.

Punto mínimo de una parábola

Punto máximo de una parábola
Autor:cadrematematicas. (2013). Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.. 2 de diciembre, de pag web Sitio web: http://catedramatematica.wikispaces.com/Aplicaci%C3%B3n+de+funciones

5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

Se puede definir la elasticidad de la demanda como el grado en que la demanda de un bien o servicio varía con su precio. Normalmente, las ventas aumentan con la caída de los precios y disminuyen con el aumento de los precios. La elasticidad de la demanda de un producto o servicio depende en muchos casos de si este es de primera necesidad o no, así la mayoría de los artículos de primera necesidad (alimentos, medicinas, ropa básica) tienen son inelásticos ya que pese a que el precio varíe la demanda cambiará poco. Sin embargo en artículos de lujo, la demanda si es elástica variando mucho en función del precio.

La elasticidad de la demanda en microeconomía corresponde con la pendiente de la función de demanda dentro de la Teoría de la Oferta y la Demanda.

Factores que influyen en la elasticidad de la demanda de un producto o servicio

El factor principal en la determinación de la elasticidad de la demanda es la voluntad y capacidad de los consumidores de aplazar las decisiones inmediatas de consumo sobre un bien o servicio cuando este sube su precio o viceversa. Además otros factores que influyen son la disponibilidad de bienes sustitutivos, necesidad, duración, o la lealtad a una marca determinada.

Video recomendado:

Autor: Enciclopediafinanciera. (2011). Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.. 2 de diciembre, de pag web Sitio web: http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-elasticidad-de-la-demanda.html

Resumen: En esta unidad trata, sobre la aplicación de la derivada en los problemas económico-administrativo.

Matematicas 1

martes, 1 de diciembre de 2015

MODULO 5. Aplicaciones de la derivada