Objetivo: El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. Utilizará la definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad, ingreso y producción.

3.1 Definición de la derivada.

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

video relacionado:

Autor:vitutor. (2011). Definicion de derivadas. 1 de diciembre del 2015, de pagina web Sitio web: http://www.vitutor.com/fun/4/a_2.html

3.2 Diferenciación de funciones por incrementos.

En matemáticas concretamente en cálculo diferencial, el diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. Existen diversas definiciones de diferencial en diversos contextos.

Informalmente, el diferencial dy se define en cursos introductorios mediante la expresión:

$dy = f'(x)\,dx,$

donde

f'(x)

es la dervada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión:

$dy = \frac{dy}{dx}\, dx$

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales.

El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas rigurosas modernas, las notaciones dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproxiación lineal al incremento de una función. En aplicaciones físicas, a menudo, se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).

video relacionado:

3.3 La derivada como razón de cambio.

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
El volumen de un globo mientras se infla
La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

Q es creciente en el instante t si

Q es decreciente en el instante t si

'Razón de cambio'

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente
La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

video relacionado:

Autor: vitutor. (1998). La derivada como razon de cambio. 1 de diciembre del 2015, de pagina web Sitio web: http://html.rincondelvago.com/razon-de-cambio.html

3.4 Diferenciabilidad y continuidad.

v Así como existen límites unilaterales también podemos hablar de derivadas unilaterales. A continuación se dan las definiciones de derivadas por la derecha y por la izquierda de una función en un punto determinado.

Arriba

v La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos:

Arriba

v En uno de los ejercicios (el número 6) resueltos que van a continuación se mostrará otro tipo de funciones que son continuas en algún número pero que no son diferenciables en el punto. Lo particular de dichas funciones es que tienen una recta vertical en dicho punto.

Resumidamente, podemos decir que una función no es diferenciable en un punto determinado por alguna de las tres razones siguientes:

La función es discontinua en el punto.
La función es continua en el punto, pero por la gráfica de f no se puede trazar una recta tangente que pase por el punto (como en la gráfica de la función valor absoluto en 0).
La función es continua en el punto, y la gráfica tiene una recta tangente vertical que pasa por el punto.

video relacionado:

Autores: juan beltran. (2012). diferenciabilidad y continuidad. 1 de diciembre del 2015, de pagina web Sitio web: http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/Diferenciabilidad_y_continuidad.htm

3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

En muchos casos, el cálculo de límites complicados mediante la aplicación directa del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicación de reglas de diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes:

Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces

f' = 0. \,

Regla de la suma:

(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,

para toda función f y g y todo número real $\alpha$ y $\beta$ .

Regla del producto:

(fg)' = f 'g + fg' \,

para toda función f y g. Por extensión, esto significa que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. Por ejemplo,

\frac{d}{dr}\pi r^2=2 \pi r. \,

Regla del cociente:

\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

para toda función f y g para todos aquellos valores tales que g ≠ 0.

Regla de la cadena: Si $f(x) = h(g(x))$ , siendo g derivable en x, y h derivable en g(x), entonces

f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). \,

Ejemplo de cálculo

La derivada de

f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,

\begin{align} f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\ &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x. \end{align}

Aquí, el segundo término se calculó usando la regla de la cadena y el tercero usando la regla del producto. La derivadas conocidas de funciones elementales x², x⁴, sin(x), ln(x) y exp(x) = e^x, así como la constante 7, también fueron usadas.

Autor: wikipedia. (2012). la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.. 1 de diciembre del 2015, de pagina web Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n

3.6 La regla de la cadena y de la potencia.

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g. Por ejemplo , la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es

(f \circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)

o escrito en notación de Leibniz.

\frac {df}{dx} = \frac {df}{dg} \, \frac {dg}{dx} \, .

La regla de la potencia.

VIDEO RELACIONADO:

AUTOR: Carlos Marotos Belmote. (22 DE AGOSTO DEL 2013). 3.6 La regla de la cadena y de la potencia.. 1 de diciembre del 2015, de pagina web Sitio web: http://campusdematematicas.com/calculo-infinitesimal/derivada-con-la-regla-de-la-cadena/

3.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

Ingreso marginal

Cuando la empresa estudia la posibilidad de modificar su nivel de producción para mejorar sus utilidades debe tener en cuenta cómo cambia su ingreso como resultado de esa modificación, es decir, cuál será el ingreso adicional que puede recibir por cada unidad adicional producida.
El ingreso marginal es el cambio en el ingreso total por cada unidad adicional que se venda, de este modo el ingreso marginal es igual al precio en competencia perfecta y es constante porque se pueden vender unidades adicionales a un precio constante.

Con este método la empresa compara la cantidad que cada unidad adicional añade al ingreso total y al costo total, si el ingreso de cada unidad adicional es mayor que su costo marginal debe producirla, de lo contrario se reducen los beneficios o se incrementan las pérdidas.

En la etapas iniciales de producción, el ingreso marginal suele ser mayor que el costo marginal y es rentable producir dentro de ese rango de producción. En las etapas posteriores, cuando la producción es relativamente alta, los costos marginales pueden aumentar más que los ingresos marginales, por lo que la empresa evita producir en este rango.

Estos dos rangos de producción están limitados por un punto único donde el ingreso marginal es igual al costo marginal y se considera el punto clave para determinar el nivel de producción de la empresa, que generalmente no corresponde a un número entero, caso en el cual debe producir la última unidad cuyo ingreso marginal sea mayor que su costo marginal.

Por lo anterior la regla para buscar la maximización de las utilidades de la empresa tanto perfectamente competitivas, como en las demás estructuras de mercado, cuando trabaja por costos unitarios, utilizando el enfoque marginal es:

"En el corto plazo, la empresa maximiza sus beneficios o minimiza sus pérdidas produciendo el nivel de producto en el que el ingreso marginal es igual al costo marginal"

Solo para la empresa de competencia perfecta por ser el precio igual al costo marginal la empresa debe producir en el punto en el que el precio es igual a dicho costo

Costo marginal

El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.

Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.
El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos.

Siguiendo la teoría neoclásica, el gráfico del costo marginal en el corto plazo tiene forma de U debido a que para pocas unidades producidas se tiene mucho capital (insumos fijos) y pocos trabajadores (insumos variables), por lo que los primeros trabajadores aumentan mucho la producción debido a que tienen mucho capital disponible. A medida que se van agregando trabajadores, la producción sigue aumentando pero cada vez menos, porque el capital se mantiene fijo. Llegará un punto en que el aumento de la cantidad producida por los trabajadores adicionales sea tan bajo que el costo total aumentará proporcionalmente mas que la cantidad producida, por lo que el costo marginal comenzará a elevarse. A partir de este punto, el costo medio de producción aumentará a medida que se agreguen trabajadores a la empresa, por ejemplo debido a que los insumos fijos por trabajador serán menores, por ejemplo maquinaria, herramientas, espacio físico, computadoras, etc.. Este es el principio de los rendimientos físicos marginales decrecientes. En un extremo puede suceder que trabajadores adicionales no añadan nada al producto, por ejemplo porque no tienen ninguna herramienta para trabajar.

Utilidad marginal

La utilidad marginal es un concepto económico un tanto complejo de asimilar por la mayoría de los estudiantes que apenas se inician en estos temas.

En economía, la utilidad marginal es la utilidad que un consumidor le otorga a un bien consumido. Para un determinado consumidor, el utilizar un bien o un servicio, le genera cierta utilidad, la cual depende de las perspectivas de cada consumidor, lo que la hace subjetiva.

Se llama marginal porque, se supone que entre mas unidades haya de un producto menor es la utilidad que le otorga, y entre mayor menos unidades disponibles hayan, mayor es la utilidad otorgada por el consumidor.

En otras palabras, cuando un producto es abundante su utilidad marginal es baja, pero al contrario, cuando un producto es escaso la utilidad marginal es mayor.

En cierta forma la utilidad marginal contribuye a la fijación del precio de los bienes. No es por capricho que un bien abundante por lo general es de bajo precio, y cuando es escaso, su precio es elevado.

Vemos por ejemplo el caso del agua en los países tropicales es de bajo precio, en cambio en el medio oriente que es una zona donde existe gran escasez, el precio del agua es elevado, y vemos que ese trata del mismo bien, pero valorado de diferente forma por los consumidores según la disponibilidad de este recurso. La gasolina en Venezuela es barata, en Colombia es costosa.

La utilidad marginal de un bien depende el gusto y capricho del consumidor, lo que hace que matemáticamente sea difícil medirla con exactitud. Ya veíamos el caso del agua que es valorada de forma distinta por dos usuarios diferentes.

Se considera que la utilidad de cada bien adicional que se posea, disminuye en la medida en que se adquiere o agrega una unidad adicional. Seguramente a un consumidor le gustará mucho consumir una porción de pollo, o tal vez dos o tres, pero de seguro que la cuarta, quinta o sexta porción de pollo ya no le interesa, no tiene ningún valor para él. La utilidad marginal de la porción de pollo ha disminuido o quizás desaparecido.

Parece que en lo único que no se cumple esta teoría es en le dinero, puesto que según la teoría de la utilidad marginal, entre mas dinero se tiene, menor es el valor que se le debe dar, pero en este caso sucede todo lo contrario, y entre mas dinero se tiene más se quiere ganar.

Propensión marginal al ahorro

La Propensión Marginal al Ahorro, PMA o por sus siglas en ingés MPS, hace referencia al incremento en el ahorro que resulta de un aumento de la renta. Por ejemplo, si la Propensión Marginal al Ahorro es igual a 0.35 y una familia ve incrementada su renta en un euro, la familia gastará 65 céntimos y ahorrará los 35 restantes. Es un concepto crucial, junto con la Propensión marginal al consumo, en la teoría económica de Keynes y es una de las claves que determinan el valor del multiplicador keynesiano.