Objetivo: El alumno comprenderá la noción de límite y de continuidad de una función; las propiedades de los límites y los casos especiales de los límites. Aprenderá a calcular el límite de una función.

2.1 Definición de límite

El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Límite de una función

Definición rigurosa

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p , y se escribe

$lim_{xto p} , , f(x) = L$

si se puede encontrar un x suficientemente cerca de p tal que el valor de f(x) sea próximo a L. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

$f(x) to L Longleftrightarrowforall epsilon > 0$ $exists delta > 0 : 0<|x-p|<delta Rightarrow |f(x)-L|<epsilon.$

Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:

"El límite de la función f(x), cuando x tiende a p, es L".

Demostración

Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

$1 < frac{x}{operatorname{sen,}(x)} < frac{1}{cos(x)}$

Elevando los términos de la inecuación a -1:

$cos(x) < frac{operatorname{sen,} x}{x} < 1$

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

$lim_{xto 0} cos(x) < lim_{xto 0} frac{operatorname{sen,}(x)}{x} < lim_{xto 0} 1$

Lo que es igual a:

$1 < frac{operatorname{sen,}(x)}{x} < 1$

Aplicando el teorema del sándwich, el límite se ve forzado a valer 1:

$lim_{xto 0}frac{operatorname{sen,}(x)}{x}=1$

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. O sea:

${lim_{x to 0} left (frac {tan x}{x} right )} = {lim_{x to 0} left (frac {operatorname{sen,} x}{x} right )} cdot lim_{x to 0} frac{1}{cos(x)}= 1 cdot 1 = 1$

El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.

Autor: francisco javier lopez olivera. (2014). definicion de limites. 1 de diciembre del 2015, de pagina web Sitio web: http://fjaviertemariodecalculo.es.tl/2-.-1-DEFINICION-DE-LIMITE.htm

2.2 Propiedades de los límites.

Propiedades de los límites

Los límites forman una parte fundamental del cálculo en las Matemáticas. De hecho, el primer punto en el concepto del cálculo está marcado por los límites. Los límites pueden ser entendidos fácilmente al observar sus propiedades.

Las Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.

Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final.

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.

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Propiedades de los límites

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.

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Propiedades de los límites

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.

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Las propiedades de los límites, también conocidas como “Teoremas  De Límite Central “, se pueden establecer como:

1). El límite de una función siempre es único y es por esta razón que siempre se refiere a estos como “El Límite” y no simplemente límite. Esta propiedad básica se puede demostrar como:

Entonces, L1 = L2

2). El límite de la sumatoria de dos funciones es igual a la suma de los límites de las dos funciones por separado.

3). Del mismo modo, el límite de la resta de dos funciones es igual a la resta de los límites de las dos funciones por separado.

4). El caso similar se puede demostrar con la multiplicación, es decir,

5). Para la división, la regla básica es similar a la de la suma y la resta. Sin embargo, en el caso de la división, , esto es, se debe tener cuidado para que el denominador no se convierta en 0 ya que dará lugar a un “error cero”.

6). Una constante que se multiplica con el límite, se puede tomar fuera del límite sin afectar el resultado. Es decir,

7). El límite de un número fijo o inmutable es un número fijo en sí mismo.

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Si b y c son números reales, n un entero positivo, f y g son funciones que tienen límites cuando X → C , sin validas las siguientes propiedades

· Limite de una constante:

Lim x→a f(x) = L y Lim x→a g(x) = G

· Limite de una suma de funciones:

Lim x→a [f(x) ± g(x)] = [Lim x→a f(x)] ± [Lim x→a g(x)] = L ± G

· Limite de un producto:

Lim x→a [f(x).g(x)] = [Lim x→a f(x)].[Lim x→a g(x)] = L.G

· Limite de un cociente:

Lim x→a f(x) = Lim x→a f(x) = L , G≠0

g(x) Lim x→a g(x) G

· Limite de una raíz:

Autor:Jonathan Escalona. (28th November 2012). 28th November 2012. 1 de diciembre del 2015, de pagina web Sitio web: http://joanthanescalona.blogspot.mx/

2.3 Límites laterales.

Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera

x ® a^- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.

x ® a⁺ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha

Límite lateral por izquierda

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a - d < x < a Þ

Límite lateral por derecha

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a < x < a + d Þ

video relacionado:

Autor: Lic. Adriana Engler . (2001). limites laterales. 1 de diciembre del 2015, de pagina web Sitio web: Ayra, J. y Larner,R. (1992): Matemáticas aplicadas a la Administración, Economía, Ciencias Biológicas y Sociales. Tercera Edición, Méjico, Prentice Hall Hispanoamericana.

2.4 Límites al infinito.

Observemos la función f(x)=1/x² para valores de x positivos muy grandes.

x	f(x)
100	1,0x10^-4
1.000	1,0x10^-6
10.000	1,0x10^-8
100.000	1,0x10^-10
1.000.000	1,0x10^-12

Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.

Ilustración geométrica del límite infinito

Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito.

Caso 1:

lim_x->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.
En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.
lim f(x) = +inf cuando x->a

Caso 2:

lim_x->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) < -A.

Caso 3:

lim_x->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A.

Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande.

Caso 4

lim_x->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A.

Caso 5:

lim_x->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) > A.

Caso 6:

lim_x->-inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) < -A.

Caso 7:

lim_x->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al E_b,ε.

Caso 8:

lim_x->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al E_b,ε.

Videos relacionados:

Autor:adsmatematicas. (diciembre 2011). limites infinito. 1 de diciembre del 2015, de pagina web Sitio web: http://matematica.50webs.com/limite-infinito.html

2.5 Continuidad y discontinuidad.

Continuidad

http://www.vadenumeros.es/imagenes/primero/continua_1.gif

discontinuidad

Los tipos de discuntinuidad de funciones pueden ser entre otras evitable o discontinuidad de salto.

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto finito

Discontinuidad de salto infinito

video relacionado:

Autor: matematicas. (2014). continuidad y discontinuidad. 1 de diciembre del 2015, de pagina web Sitio web: http://www.vadenumeros.es/primero/tipos-de-discontinuidad.htm

2.6 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: interés compuesto continuamente, límite de la función costo promedio.

INTERÉS COMPUESTO CONTINUO

Un sistema de interés compuesto en el que la capitalización se produce continuamente. Es decir, en el primer instante de tiempo se obtiene interés sobre el principal. Durante el siguiente instante se obtienen intereses sobre el principal incrementado en los intereses que se han ganado durante el instante anterior. Cuando los tipos de interés o los cambios de porcentaje de valor se miden de esta manera, poseen útiles propiedades matemáticas de las que carecen los tipos establecidos con cualquier otra frecuencia compuesta. Por esta razón, los cambios de porcentaje en los trabajos analíticos más avanzados se miden como intereses compuestos continuos.

un ejemplo de interes compuesto:

LIMITE DE LA FUNCIÓN COSTO PROMEDIO

En la Economía también es importante considerar la variación de una cantidad respecto a otra. Por ejemplo la demanda de un producto respecto a su precio, o el precio de un producto respecto a su costo de producción o la utilidad obtenida en la venta de un producto, con relación al costo de producción, etc.

Por lo anterior, es muy importante la representación de las cantidades relacionadas en forma de funciones que puedan ser derivables, no obstante que los datos que se manejan sean discretos, por ejemplo cuando se establece la función de costo

, la variable x representa unidades de cierta mercancía.

En Economía se suele describir la variación de una cantidad respecto a otra mediante un concepto llamado promedio que expresa la variación de una cantidad sobre un rango específico de valores de otra y un concepto llamado marginal que expresa el cambio instantáneo en una cantidad respecto a la otra.

Un símil de los conceptos anteriores en Física serían los conceptos de velocidad promedio y velocidad instantánea o lo que geométricamente serían la pendiente de la recta secante y la pendiente de la recta tangente, respectivamente.

Un ejemplo:
- Si es la función que representa el Costo Total en unidades monetarias para producir x unidades de cierta mercancía:
- El costo promedio de producción de cada unidad, sería el costo total entre la cantidad de unidades de mercancía producidas, es decir: , a la cual se le llama función del Costo Promedio.
- El costo marginal cuando es , si esta cantidad existe. Y se interpreta como la razón de cambio instantánea del Costo Total con respecto al cambio unitario en las unidades producidas, cuando se producen unidades.
- De manera similar sería el Costo Promedio Marginal cuando y que representa la razón de cambio instantánea del Costo Promediocuando .
Otro ejemplo
Si p es el precio de unitario de cierta mercancía y x el número de unidades de dicha mercancía. Es natural pensar que la cantidad solicitada por los consumidores en el mercado, dependa de su precio. Es natural pensar que "a menor precio, mayor demanda y a mayor precio, menor demanda".

A veces también es posible considerar que el precio de un producto se puede establecer en función de su demanda: "a mayor demanda menor precio". En este caso, tendríamos p = g(x) que se llamaría función de demanda o inclusive podría establecerse mediante una ecuación de demanda. A la gráfica correspondiente que relaciona cantidad x solicitada y el precio p, los economistas acostumbran llamarle curva de la demanda.

Aquí un caso típico de curva de demanda

Un caso típico: La demanda de un cierto producto es nula cuando el precio es muy alto (p=18), mientras que el consumo máximo de dicho producto en una familia no puede pasar de cierto valor (6 unidades) aun que el precio fuese cero.
Derivado de estos conceptos, se tiene la función de Ingreso Total, R(x) = x P(x), es decir: la cantidad de unidades vendidas, por el precio de las mismas.
Y además la función de Ingreso Marginal, R'(x) = P(x) + x P'(x), que representaría la razón de cambio del ingreso total para cada x.

video relacionado:

Autor: Autor: unam. (2011). Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: interés compuesto continuamente, límite de la función costo promedio.. 1 de diciembre del 2015, de pagina web Sitio web: http://www.objetos.unam.mx/matematicas/matema/Daplica/da_aplicacion05_d.html

Resumen: En esta unidad va relacionado con limites sobre problemas y sacar un resultado de lo economico.

Matematicas 1

martes, 1 de diciembre de 2015

MODULO 2. Límites y continuidad

Definición rigurosa

Demostración

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4

Caso 5:

Caso 6:

Caso 7:

Caso 8:

discontinuidad

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto finito

Discontinuidad de salto infinito

INTERÉS COMPUESTO CONTINUO

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