Matematicas 1: Matematicas 1

MODULO 1. Funciones.

Objetivo: Contribuir a la solucion de problemas que requieren del empleo de procesos matematicos o la elaboracion de modelos matematicos.

1.1 Definición y notación de función.

En matemáticas, una función, aplicación f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

$f \colon X \to Y \,$

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función f(x)". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay una posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función f no está bien definida. En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales.

1.2 Dominio y rango de una función.

El dominio de una funcion f(x) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y elrango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.

(En gramática, probablemente le llame al dominio el conjunto reemplazo y al rango el conjunto solución. Quizá también estos han sido llamados la entrada y salida de la función.)

Ejemplo 1:

Considere la función mostrada en el diagrama.

Aquí, el dominio es el conjunto {A, B, C, E}.D no está en el dominio, ya que la función no está definida para D.

El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2.

Ejemplo 2:

El dominio de la función

f(x) = 1/x

es todos los números reales excepto el cero (ya que en x = 0, la función no está definida: la división entre cero no está permitida!).

El rango también es todos los números reales excepto el cero. Puede ver que hay algún punto en la curva para cada valor de y excepto para y = 0

Ejemplo 3:

La notación siguiente muestra que el dominio de la función está restringido al intervalo (–1, 1).

f(x) = x², –1

La gráfica de esta función es como se muestra. Dese cuenta de los círculos abiertos, que muestran que la función no está definida en x= –1 y x = 1. Los valores del rango de y desde 0 hasta el 1 (incluyendo el 0, pero no incluyendo el 1). Así el rango de la función es

y < 1.

Los dominios pueden también estar explícitamente especificados, si hay valores para los cuales la función pudiera estar definida, pero que no deseamos considerarlos por alguna razón.

para ser un poco mas explicado tenemos un ejemplo:

1.3 Tipos de funciones

Función constante

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

f(x) = x² representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0)

Función polinómica

Una función f es una función polinómica si,f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

donde a₀, a₁,...,a_n son números reales y los exponentes son enteros positivos.

Ejemplos:

f(x) = x² − 2x − 3;

g(x) = 5x + 1;

h(x) = x3

El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real)

Función de potencia

Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = x^r, donde r es cualquier número real.

Las funciones f(x) = x^4/3 y h(x) = 5x^3/2 son funciones de potencia

un ejemplo mas claro de los tipos de funciones :

1.4 Operaciones con funciones.

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

1.5 Composición de funciones.

si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

1.6 Gráfica de una función.

En matemáticas, la gráfica de una función:

\begin{array}{rccl} f: & X & \longrightarrow & Y \\ & x & \longmapsto & y= f(x) \end{array}

Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano. X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen.

Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.

Función constante

y = n

Función identidad

f(x) = x

Función linea
y = mx

gráfica

Función afin
y = mx + n

gráfica

Función cuadratica
f(x) = ax² + bx +c

Gráfica

Función Parte entera de X
f(x) = E (x)

Función de mantisa
f(x) = x - E (x)

Función signo
f(x) = sgn(x)

Función Racional

Función exponencial

Función logaritmica

Función seno
f(x) = sen x

Función de coseno

f(x) = cosen x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Función secante
f(x) = sec x

Función cosecante
f(x) = cosec x

1.7 Función lineal y función cuadrática.

Funciones lineales

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b.Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe.

m = pendiente de la recta (constante).

b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).

x = variable.

Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacía arriba o abajo.

Las funciones se pueden clasificar en tres tipos:

Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente.
Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente.
Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).

Estos son los tres tipos de funciones:

Haz click en la imagen para verla más grande

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe : f(x) = ax2 + bx + c

a, b y c = números reales diferentes a cero.

Si a>0 el vértice de la parábola estará en la parte inferior y si o a<0 el vértice estará en la parte superior de la parábola.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola de la cual el eje de simetría es paralelo al eye de las “y”.

Modificaciones en la función, si sumamos o restamos dentro del paréntesis la parábola se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente, Si restamos o sumamos en la función fuera del paréntesis la parábola se mueve hacia abajo o hacia arriba.

Para obtener la raíces de la ecuación seguimos estos pasos:

Igualar la ecuación a cero.
Factorizar la ecuación.
Igualar cada factor a cero y obtener las raíces.

Para graficar la función seguimos estos pasos:

Con el valor de “a” determinar si la parábola abre hacía arriba o hacía abajo.
Obtener los puntos de intersección, los del eje “x” se obtienen con las raíces de la ecuación, para obtener las intersecciones en “y” igualamos la x a cero.
Obtener el vértice de la función, el punto “x” de la coordenada del vértice se obtiene con la fórmula -b/2a y el punto “y” se obtiene sustituyendo x en la función.
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva.

1.8 Función exponencial y logarítmica.

Propiedades de las funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma f(x) = a^x, se cumplen las siguientes propiedades generales:

La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:
f (0) = a⁰ = 1.
La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:
f (1) = a¹ = a.
La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.
f (x + x?) = a^x+x? = a^x × a^x? = f (x) × f (x?).
La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:
f (x - x?) = a^x-x? = a^x/a^x? = f (x)/f (x?).

La función e^x

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = e^x. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:

(1 + 1/n)ⁿ

cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos (ver t34).

La función e^x presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada

Funcion logarítmica

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == log_ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:

log_a x = b Û a^b = x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).

Propiedades de la función logarítmica

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log_a 1 = 0, en cualquier base.
La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = a^x, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

1.9 Aplicaciones en las ciencias económico administrativas: funciones de oferta y demanda; recta presupuestal, funciones de ingresos, costos y utilidades; funciones de apreciación y depreciación.

Funciones de oferta y demanda

En Economía aparecen como objeto de estudio las funciones de oferta y de demanda.La función de demanda f_d para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los consumidores están dispuestos a comprar. La relación puede ser lineal o cuadrática.
f_d= mp + n con m<0 o bien f_d= ap² + bp + c, con a<0.

La función de oferta f_o, para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del producto. La relación puede ser lineal o cuadrática.
f_o= kp + v con k>0 o bien f_o= dp² + ep + f, con d>0.

El equilibrio del mercado se produce cuando el número de unidades que se fabrican coincide con el número de unidades de producto que se demandan. El precio por unidad de producto en este caso se denomina "precio de equilibrio".

Recta presupuestal

La recta de presupuesto queda determinada por el ingreso y el precio de los bienes 1 y 2. Mientras mayores los precios, menores los interceptos vertical y horizontal y menor el área de canastas factibles para el consumo.

El área de las canastas factibles también se reduce cuando se reduce el ingreso.

Si los precios se mueven en la misma dirección y en la misma proporción, el área de las canastas factibles se incrementa (disminuye) cuando bajan (suben) los precios y el efecto es el mismo que una disminución (aumento) del ingreso. En estos casos el costo de oportunidad, es decir, la pendiente de la recta de presupuesto, no cambia.

Si los precios cambian en la misma o en diferente dirección, pero en proporciones distintas, el costo de oportunidad cambia.

A medida que el costo de oportunidad del bien 1 se incrementa, a consecuencia de una subida de su precio, la recta pivota hacia adentro y se va parando. A medida que el costo de oportunidad del bien 1 disminuye, a consecuencia de una disminución en su precio, la recta pivota hacia afuera y se va echando.En todas las circunstancias anteriores, y en combinaciones de ellas, para tomar decisiones es conveniente apreciar si se presentaron o no cambios en el costo de oportunidad. Pero en todos los casos mencionados el costo de oportunidad permanece constante dados los precios y el ingreso.

Se pueden y deben comparar los cambios en el precio y/o el ingreso en relación a una situación inicial, pero la nueva y la vieja situación tienen el mismo costo de oportunidad.

Funciones de costos, ingresos y utilidades

Función de Costos:

Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma:

Costo = Costo variable + Costo fijo

En la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma

C(x) = mx + b

Se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente, el costo marginal, mide el costo incrementado por artículo.

Función de Ingresos:

Una función ingreso R específica el ingreso R(x) que resulta de la venta de x artículos.

R(x) = x

Funcion de Utilidad:

La teoría define la función de utilidad de la siguiente manera:

U = f (X1, X2, X3 , ... , Xn) (1.1)

Donde “U” es el nivel de la utilidad y “Xi” son los bienes y/o servicios que consume una determinada persona.

En la figura Nº 1.1, donde el eje vertical es la utilidad total y el eje horizontal, las cantidades del bien “X”, se analiza como evoluciona la utilidad a medida que aumenta el consumo del bien “X”.

Las características más resaltantes de esta curva son las siguientes:
a) La utilidad se incrementa pero de manera decreciente, lo que significa que es cóncava hacia abajo, por tanto tendrá un valor máximo y a partir de éste la utilidad disminuirá.
b) Si aumenta el consumo de “X”, la satisfacción total crece; sin embargo las variaciones pequeñas en la utilidad cada vez son menores.
c) Si se divide el eje horizontal en cantidades iguales y las proyectamos verticalmente, los cambios en la utilidad (U), cada vez se harán menores hasta hacerse cero.
d) Si hacemos que los cambios en el consumo del bien “X” sean infinitamente pequeños, tendremos una curva continua que aumenta de manera decreciente, lo que significa que la utilidad marginal disminuye a medida que aumenta el consumo de “X”.